Présentation de la géométrie d'Eudoxe à Poincaré

Cet ouvrage a été écrit de manière structurée afin qu'on puisse le lire à
plusieurs niveaux. Le premier niveau est conçu pour accompagner les étudiants
du premier cycle de l'université, avec de nombreux exercices corrigés. A un
niveau plus avancé, on lira aussi les commentaires et scolies et on
s'intéressera à la perspective historique. L'originalité de l'approche est de
s'inspirer fortement du programme d'Erlangen de Felix Klein. On insiste plus
sur les structures algébriques qui caractérisent chaque géométrie que sur les
objets géométriques eux-mêmes. Ainsi le fil conducteur est le groupe des
isométries, qui permet de passer d'une vision géométrique à une autre (comme
de la géométrie sphérique à la géométrie hyperbolique). Notre intuition
spatio-temporelle peut être graduellement remplacée par l'étude d'autres
modèles. On peut visualiser géométriquement des propriétés arithmétiques et
aussi algébriser la géométrie. Ainsi le corps des quaternions, appliqué à la
géométrie en dimension 3 et au calcul vectoriel, permet de réduire toute la
trigonométrie sphérique à quelques exercices d'algèbre élémentaire.
L'axiomatique est remplacée par l'étude de modèles mathématiques qui
permettent de saisir tout de même l'esprit (et de percevoir les limites) des
démonstrations euclidiennes classiques. Le but est aussi d'illustrer
différents langages de géomètres et différentes façons de concevoir la
géométrie.