Groupes

L'ouvrage s'adresse aux étudiants de premier cycle, de licence ou de maîtrise
de mathématiques, et constitue un excellent outil pour les candidats aux
concours du CAPES et de l'agrégation. Les notions classiques sont abordées de
façon élémentaire et rigoureuse : groupe, sous-groupe, sous-groupe distingué,
groupe quotient, groupe cyclique, produit direct, somme restreinte, somme
directe de groupes, produit semi-direct de groupes, groupe opérant sur un
ensemble, groupe libre, produit libre de groupes, groupe défini par
générateurs et relations.

Les résultats de base sont démontrés : structure du groupe alterné An,
célèbres théorèmes de Sylow, suite dérivée, suite centrale descendante en
relation avec les groupes résolubles ou nilpotents ; la structure des groupes
abéliens de type fini est complètement élucidée par des opérations
élémentaires sur les lignes et colonnes d'une matrice.

Le dernier paragraphe, le plus riche et original, regroupe 75 exercices dont
certains, faciles, permettent de se familiariser avec des groupes finis
d'ordre "petit". D'autres exercices rencontrent des groupes célèbres provenant
de la géométrie, de l'algèbre linéaire et de l'arithmétique, comme les groupes
de polyèdres réguliers en dimension 3, les fameux groupes de Coxeter, le
groupe fondamental d'une surface de Riemann, les célèbres théorèmes de Schur,
Burnside et Jordan sur les sous-groupes finis de Gln(C)...